📖 1. Własności działań na potęgach i pierwiastkach

Potęgowanie to wielokrotne mnożenie tej samej liczby przez siebie. W arkuszach OKE kluczowe jest sprawne operowanie potęgami o wykładnikach całkowitych ujemnych oraz ułamkowych (wymiernych).

Prawa potęg ($a, b > 0$): • $a^r \cdot a^s = a^{r+s}$
• $\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$
• $(a^r)^s = a^{r \cdot s}$
• $(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r$
• $\left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}$

Wykładniki ujemne i ułamkowe: • $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (np. $2^{-3} = \frac{1}{8}$)
• $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$
• $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$
• $a^0 = 1$ dla każdego $a \neq 0$

⚠️ Pułapka Egzaminatora OKE:

Uważaj na nawiasy przy potęgowaniu liczb ujemnych! Liczba $-3^2 = -9$, ponieważ potęgujemy tylko trójkę. Z kolei $(-3)^2 = 9$, gdyż potęgujemy całą liczbę wraz ze znakiem minus.

📖 2. Definicja i własności logarytmów

Logarytmem $\log_a b$ przy podstawie $a$ ($a > 0, a \neq 1$) liczby logarytmowanej $b$ ($b > 0$) nazywamy wykładnik potęgi $c$, do której należy podnieść podstawę $a$, aby otrzymać liczbę $b$.

$\log_a b = c \iff a^c = b$

Kluczowe tożsamości logarytmiczne:

Suma logarytmów: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$
Różnica logarytmów: \log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)
Ściąganie potęgi: $\log_a (x^k) = k \cdot \log_a x$
Podstawienie potęgowe: $a^{\log_a b} = b$
Logarytm dziesiętny: $\log x = \log_{10} x$

💡 3. Przykład OKE Rozwiązany Krok po Kroku

Zadanie: Oblicz wartość wyrażenia $W = 2\log_3 6 - \log_3 4 + 5^{\log_5 7}$.

Krok 1: Wciągamy liczbę przed logarytmem jako potęgę: $2\log_3 6 = \log_3 (6^2) = \log_3 36$.

Krok 2: Stosujemy wzór na różnicę logarytmów: $\log_3 36 - \log_3 4 = \log_3 \left(\frac{36}{4}\right) = \log_3 9$.

Krok 3: Obliczamy wartość $\log_3 9 = 2$, ponieważ $3^2 = 9$.

Krok 4: Obliczamy składnik potęgowy: $5^{\log_5 7} = 7$ na mocy wzoru $a^{\log_a b} = b$.

Krok 5: Sumujemy: $W = 2 + 7 = 9$.

System Oceniania Egzaminu OKE